4.1.144. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.1.144. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая…$ Фото задания

4.1.144. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$y=\dfrac{(x+3)(x-2)(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+3)}$.

При $x\ne-3$ и $x\ne3$ сокращаем общие множители. Получаем $y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$, причём $x=-3$ и $x=3$ исключены из области определения.

Вершина параболы имеет абсциссу $x=\dfrac12$, а ординату $y=\dfrac14-\dfrac12-2=-\dfrac94$. Выколотые точки: при $x=-3$, $y=10$; при $x=3$, $y=4$.

Горизонталь на уровне вершины $m=-\dfrac94$ касается параболы в одной точке. При $m=4$ и $m=10$ у полной параболы было бы по два пересечения, но одно из них в каждом случае исключено из графика: соответственно точка $(3;4)$ или $(-3;10)$.

Ответ: $m=-\dfrac94$, $m=4$ или $m=10$.

4.1.144. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: