4.1.26. Решите уравнение \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{4}{x-1}-12=0\).

Область допустимых значений: \(x\ne1\). Сделаем замену \(t=\frac{1}{x-1}\). Получим квадратное уравнение \(t^2+4t-12=0\).

Разложим на множители: \((t+6)(t-2)=0\). Следовательно, \(t=-6\) или \(t=2\).

Возвращаемся к переменной \(x\):

• \(\frac{1}{x-1}=2\), значит \(x-1=\frac12\) и \(x=\frac32\);
• \(\frac{1}{x-1}=-6\), значит \(x-1=-\frac16\) и \(x=\frac56\).

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x=\frac56\) или \(x=\frac32\).