4.1.38. Решите уравнение (x² – 2x)² + (x - 1)² = 1.

Решение:

Заметим, что \( x^2 - 2x = x(x-2) \).

Введём замену. Пусть \( y = x-1 \). Тогда \( x = y+1 \).

Выразим \( x^2 - 2x \) через \( y \):

\( x^2 - 2x = (y+1)^2 - 2(y+1) = (y^2 + 2y + 1) - (2y + 2) = y^2 - 1 \).

Подставим в исходное уравнение:

\[ (y^2 - 1)^2 + y^2 = 1 \]

\[ y^4 - 2y^2 + 1 + y^2 = 1 \]

\[ y^4 - y^2 = 0 \]

\[ y^2(y^2 - 1) = 0 \]

Отсюда либо \( y^2 = 0 \), либо \( y^2 - 1 = 0 \).

Если \( y^2 = 0 \), то \( y = 0 \).

Если \( y^2 - 1 = 0 \), то \( y^2 = 1 \), следовательно, \( y = 1 \) или \( y = -1 \).

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), используя замену \( y = x-1 \).

1. Если \( y = 0 \):

\( x - 1 = 0 \) \(\implies\) \( x = 1 \).

2. Если \( y = 1 \):

\( x - 1 = 1 \) \(\implies\) \( x = 2 \).

3. Если \( y = -1 \):

\( x - 1 = -1 \) \(\implies\) \( x = 0 \).

Проверим полученные корни:

• При \( x = 1 \): \( (1^2 - 2 \cdot 1)^2 + (1-1)^2 = (-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1 \). Верно.
• При \( x = 2 \): \( (2^2 - 2 \cdot 2)^2 + (2-1)^2 = (4 - 4)^2 + 1^2 = 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1 \). Верно.
• При \( x = 0 \): \( (0^2 - 2 \cdot 0)^2 + (0-1)^2 = 0^2 + (-1)^2 = 0 + 1 = 1 \). Верно.

Ответ: x = 0, x = 1, x = 2.