4. (1 балл). В треугольнике АВС угол C равен 90 градусов. АС=4. cos A=4/5. CH- высота. Найдите АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC: \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).

Из условия \( \cos A = \frac{4}{5} \) и \( AC = 4 \).

Тогда \( \frac{4}{5} = \frac{4}{AB} \) => \( AB = 5 \).

По теореме Пифагора найдём BC: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \) => \( BC = 3 \).

Высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB.

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH, проведённая к гипотенузе, удовлетворяет соотношению:

\( AC^2 = AH \cdot AB \)

Подставляем известные значения:

\( 4^2 = AH \cdot 5 \)

\( 16 = 5 \cdot AH \)

\( AH = \frac{16}{5} = 3.2 \)

Ответ: AH = 3.2