4-10. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Привет! Давай решим эту задачку по геометрии. Нам дан прямоугольный треугольник, и мы знаем длины одного катета и гипотенузы. Нужно найти высоту, которая проведена к гипотенузе.

Формулы, которые нам понадобятся:

• Теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] (где 'a' и 'b' - катеты, 'c' - гипотенуза)
• Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
• Площадь треугольника также можно найти как: \[ S = \frac{1}{2} \times c \times h_c \] (где 'c' - гипотенуза, 'h_c' - высота, проведенная к гипотенузе)

Дано:

• Катет (пусть будет 'a') = 21
• Гипотенуза ('c') = 75

Найти:

• Высоту 'h_c', проведенную к гипотенузе.

Решение:

1. Найдем длину второго катета ('b') с помощью теоремы Пифагора:
• \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
• \[ 21^2 + b^2 = 75^2 \]
• \[ 441 + b^2 = 5625 \]
• \[ b^2 = 5625 - 441 \]
• \[ b^2 = 5184 \]
• \[ b = \sqrt{5184} \]
• \[ b = 72 \]
• Итак, второй катет равен 72.
2. Найдем площадь треугольника, используя катеты:
• \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
• \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 72 \]
• \[ S = 21 \times 36 \]
• \[ S = 756 \]
3. Теперь найдем высоту, используя площадь и гипотенузу:
• \[ S = \frac{1}{2} \times c \times h_c \]
• \[ 756 = \frac{1}{2} \times 75 \times h_c \]
• Умножим обе части на 2:
• \[ 1512 = 75 \times h_c \]
• \[ h_c = \frac{1512}{75} \]
• \[ h_c = 20.16 \]

Ответ: 20.16