4.114. Решите систему неравенств

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Решаем первое неравенство: \( x^{2}-6x-7 \geq 0 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^{2}-6x-7=0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \), \( x_1  x_2 = -7 \). Корни: \( x_1 = 7 \), \( x_2 = -1 \). Парабола ветвями вверх, поэтому \( x^{2}-6x-7 \geq 0 \) при \( x \leq -1 \) или \( x \geq 7 \).
2. Шаг 2: Решаем второе неравенство: \( 2-3x > 0 \). Переносим 2 в правую часть: \( -3x > -2 \). Делим обе части на -3 и меняем знак неравенства: \( x < \frac{-2}{-3} \), то есть \( x < \frac{2}{3} \).
3. Шаг 3: Находим пересечение решений первого и второго неравенств. У нас есть \( x \leq -1 \) или \( x \geq 7 \) и \( x < \frac{2}{3} \). Единственное условие, которое удовлетворяет обоим неравенствам, это \( x \leq -1 \).

Ответ: \( x \leq -1 \)