4.120. Рашыце сістэму ўраўненняў спосабам складання: 6) { x-5 / 3 = 3y+2 / 4 4x + 9y = -10 }

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} \frac{x-5}{3} = \frac{3y+2}{4} \\ 4x + 9y = -10 \end{cases} \]

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение, чтобы избавиться от знаменателей.

Умножим обе части первого уравнения на 12 (наименьшее общее кратное 3 и 4):

\[ 12 \cdot \frac{x-5}{3} = 12 \cdot \frac{3y+2}{4} \]
\[ 4(x-5) = 3(3y+2) \]
\[ 4x - 20 = 9y + 6 \]

Перенесём переменные в левую часть, а константы в правую:

\[ 4x - 9y = 6 + 20 \]
\[ 4x - 9y = 26 \]

Шаг 2: Теперь система выглядит так:

\[ \begin{cases} 4x - 9y = 26 \\ 4x + 9y = -10 \end{cases} \]

Шаг 3: Применим метод сложения.

Сложим оба уравнения системы. Обратите внимание, что коэффициенты при 'y' противоположны (+9y и -9y), что упрощает сложение.

\[ (4x - 9y) + (4x + 9y) = 26 + (-10) \]
\[ 4x + 4x - 9y + 9y = 26 - 10 \]
\[ 8x = 16 \]

Шаг 4: Найдем значение 'x'.

\[ x = \frac{16}{8} \]
\[ x = 2 \]

Шаг 5: Подставим значение 'x' во второе уравнение системы (или в любое из преобразованных уравнений) для нахождения 'y'.

\[ 4(2) + 9y = -10 \]
\[ 8 + 9y = -10 \]
\[ 9y = -10 - 8 \]
\[ 9y = -18 \]
\[ y = \frac{-18}{9} \]
\[ y = -2 \]

Шаг 6: Проверка решения.

Подставим найденные значения x=2 и y=-2 в исходные уравнения.

Первое уравнение:

\[ \frac{2-5}{3} = \frac{3(-2)+2}{4} \]
\[ \frac{-3}{3} = \frac{-6+2}{4} \]
\[ -1 = \frac{-4}{4} \]
\[ -1 = -1 \]

Второе уравнение:

\[ 4(2) + 9(-2) = -10 \]
\[ 8 - 18 = -10 \]
\[ -10 = -10 \]

Оба уравнения верны.

Ответ: x = 2, y = -2.