4.144. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.144. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая…$ Фото задания

4.144. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$y=\dfrac{(x+3)(x-2)(x-3)(x+1)}{(x-3)(x+3)}$.

После сокращения получаем $y=(x-2)(x+1)=x^2-x-2$, но в исходной функции $x\ne-3$ и $x\ne3$. Поэтому график — парабола с выколотыми точками $(-3;10)$ и $(3;4)$.

Вершина параболы имеет абсциссу $x=\frac12$, а ординату $y=-\frac94$. Горизонталь уровня вершины пересекает график в одной точке. При $m=10$ обычные пересечения соответствуют $x=-3$ и $x=4$; точка при $x=-3$ выколота, поэтому остаётся одна. При $m=4$ пересечения соответствуют $x=-2$ и $x=3$; точка при $x=3$ выколота, поэтому также остаётся одна.

Ответ: $m=-\frac94,4,10$.

4.144. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+x-6)(x^2-2x-3)}{x^2-9}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: