4.16. 1) \(\dfrac{5-a}{1+\sqrt5}\); 2) \(\dfrac{7a+\sqrt a}{2-\sqrt a}\); 3) \(\dfrac{1{,}5c}{\sqrt3+c}\); 4) \(\dfrac{5c-1}{\sqrt{5c}-1}\); 5) \(\dfrac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt a}\); 6) \(\dfrac{x-6}{\sqrt x+\sqrt{3x}}\).

Явная инструкция на изображении не видна. По виду выражений предполагается, что нужно избавиться от иррациональности в знаменателях: для двучлена с корнем используем сопряжённое выражение.

1. Домножаем на \(\sqrt5-1\): \(\dfrac{5-a}{1+\sqrt5}=\dfrac{(5-a)(\sqrt5-1)}{(1+\sqrt5)(\sqrt5-1)}=\dfrac{(5-a)(\sqrt5-1)}4\).
2. Домножаем на \(2+\sqrt a\): \(\dfrac{7a+\sqrt a}{2-\sqrt a}=\dfrac{(7a+\sqrt a)(2+\sqrt a)}{4-a}=\dfrac{15a+(7a+2)\sqrt a}{4-a}\).
3. Домножаем на \(\sqrt3-c\): \(\dfrac{1{,}5c}{\sqrt3+c}=\dfrac{1{,}5c(\sqrt3-c)}{3-c^2}\).
4. Домножаем на \(\sqrt{5c}+1\): \(\dfrac{5c-1}{\sqrt{5c}-1}=\dfrac{(5c-1)(\sqrt{5c}+1)}{5c-1}=\sqrt{5c}+1\).
5. Домножаем на \(\sqrt{5x}+\sqrt a\): \(\dfrac{3x+a}{\sqrt{5x}-\sqrt a}=\dfrac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}{5x-a}\).
6. Так как \(\sqrt{3x}=\sqrt3\sqrt x\), знаменатель равен \((1+\sqrt3)\sqrt x\). Домножаем на \(\sqrt3-1\): \(\dfrac{x-6}{\sqrt x+\sqrt{3x}}=\dfrac{(x-6)(\sqrt3-1)}{2\sqrt x}\).

Ответ: 1) \(\dfrac{(5-a)(\sqrt5-1)}4\); 2) \(\dfrac{15a+(7a+2)\sqrt a}{4-a}\); 3) \(\dfrac{1{,}5c(\sqrt3-c)}{3-c^2}\); 4) \(\sqrt{5c}+1\); 5) \(\dfrac{(3x+a)(\sqrt{5x}+\sqrt a)}{5x-a}\); 6) \(\dfrac{(x-6)(\sqrt3-1)}{2\sqrt x}\).

Учитываются области допустимых значений исходных выражений: знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны.