4.16. Вычислите значение выражения: 1) \(\lg 8+\lg 12{,}5\); 2) \(\log_3 162-\log_3 2\); 3) \(\dfrac{\log_7 125}{\log_7 5}\); 4) \(3\log_6 2+\dfrac{3}{4}\log_6 81\).

1. По свойству логарифмов \(\lg a+\lg b=\lg(ab)\):

   \(\lg 8+\lg 12{,}5=\lg(8\cdot12{,}5)=\lg100=2.\)

2. По свойству логарифмов \(\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}\):

   \(\log_3 162-\log_3 2=\log_3\frac{162}{2}=\log_3 81=4,\)

   так как \(81=3^4\).

3. По формуле перехода к новому основанию:

   \(\dfrac{\log_7 125}{\log_7 5}=\log_5 125=3,\)

   так как \(125=5^3\).

4. Используем свойство \(k\log_a x=\log_a x^k\):

   \(3\log_6 2+\dfrac{3}{4}\log_6 81=\log_6 2^3+\log_6 81^{3/4}.\)

   Поскольку \(2^3=8\), а \(81^{3/4}=(\sqrt[4]{81})^3=3^3=27\), получаем:

   \(\log_6 8+\log_6 27=\log_6(8\cdot27)=\log_6 216=3,\)

   так как \(216=6^3\).

Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 3.