4.18. Упростите выражение: а) 125¹·⁵ · 25⁻³⁄⁴; б) 2¹·²⁵ · 16¹⁄¹⁶; в) x¹⁄² · √x; г) ∛x · x¹⁄⁴; д) a⁻¹⁄² : √a; е) z²⁄³ : ⁵√(z²); ж) ⁴√m : m⁻¹⁄²; з) ∛a : a⁻¹⁄⁶.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются. Корни записываем как степени с дробными показателями.

1. а) \(125^{1.5} \cdot 25^{-3/4}=(5^3)^{3/2}\cdot(5^2)^{-3/4}=5^{9/2-3/2}=5^3=125\).
2. б) \(2^{1.25}\cdot16^{1/16}=2^{5/4}\cdot(2^4)^{1/16}=2^{5/4+1/4}=2^{3/2}=2\sqrt2\).
3. в) \(x^{1/2}\cdot\sqrt{x}=x^{1/2+1/2}=x\).
4. г) \(\sqrt[3]{x}\cdot x^{1/4}=x^{1/3+1/4}=x^{7/12}\).
5. д) \(a^{-1/2}:\sqrt a=a^{-1/2-1/2}=a^{-1}=1/a\) (при \(a>0\)).
6. е) \(z^{2/3}:\sqrt[5]{z^2}=z^{2/3-2/5}=z^{10/15-6/15}=z^{4/15}\).
7. ж) \(\sqrt[4]{m}:m^{-1/2}=m^{1/4-(-1/2)}=m^{3/4}\) (при \(m>0\)).
8. з) \(\sqrt[3]{a}:a^{-1/6}=a^{1/3-(-1/6)}=a^{1/2}=\sqrt a\) (при \(a>0\)).