4. (2 балла) Расшифруйте высказывание: «∀ A, B ∃! C: AC = AB, BC = 2AB». Сделайте к нему нужный рисунок. Верно ли это утверждение?

Расшифровка: для любых точек A и B существует единственная точка C, такая что расстояние от A до C равно расстоянию от A до B, а расстояние от B до C в два раза больше расстояния AB.

Пусть AB = d, где d > 0. Тогда нужно построить точку C, для которой AC = d, а BC = 2d. Точка C располагается на прямой AB по другую сторону от точки A:

\(C\text{ — }A\text{ — }B\), поэтому \(AC=AB=d\), а \(BC=BA+AC=d+d=2d\).

Единственность следует из неравенства треугольника: \(BC=2AB=AC+AB\). Равенство в неравенстве треугольника возможно только тогда, когда точки C, A, B лежат на одной прямой и A находится между C и B. Значит, такая точка только одна.

Если A = B, то из условий \(AC=AB=0\) и \(BC=2AB=0\) следует C = A = B, поэтому утверждение сохраняется.

Ответ: утверждение верно.