4) \(2\frac{2}{3}(4\frac{1}{2}x - \frac{3}{5}) = 1\frac{32}{45} \cdot \frac{7}{15}x - \frac{7}{9}\)

Решение:

1. Приведём смешанные числа к виду неправильных дробей: \(2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\), \(4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}\), \(1\frac{32}{45} = \frac{1 \cdot 45 + 32}{45} = \frac{77}{45}\).
2. Уравнение примет вид: \(\frac{8}{3}(\frac{9}{2}x - \frac{3}{5}) = \frac{77}{45} \cdot \frac{7}{15}x - \frac{7}{9}\).
3. Раскроем скобки в левой части: \(\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{2}x - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{77}{45} \cdot \frac{7}{15}x - \frac{7}{9}\).
4. \(\frac{72}{6}x - \frac{24}{15} = \frac{539}{675}x - \frac{7}{9}\).
5. \(12x - \frac{8}{5} = \frac{539}{675}x - \frac{7}{9}\).
6. Перенесём члены с \(x\) в левую часть, а свободные члены — в правую: \(12x - \frac{539}{675}x = \frac{8}{5} - \frac{7}{9}\).
7. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12 и 675 — 1350. Общий знаменатель для 5 и 9 — 45.
8. \(\frac{12 \cdot 270}{1350}x - \frac{539 \cdot 2}{1350}x = \frac{8 \cdot 9}{45} - \frac{7 \cdot 5}{45}\).
9. \(\frac{3240}{1350}x - \frac{1078}{1350}x = \frac{72}{45} - \frac{35}{45}\).
10. \(\frac{2162}{1350}x = \frac{37}{45}\).
11. Сократим дробь \(\frac{2162}{1350}\) на 2: \(\frac{1081}{675}x = \frac{37}{45}\).
12. Чтобы найти \(x\), разделим \(\frac{37}{45}\) на \(\frac{1081}{675}\): \(x = \frac{37}{45} : \frac{1081}{675} = \frac{37}{45} \cdot \frac{675}{1081}\).
13. \(x = \frac{37 \cdot 675}{45 \cdot 1081}\). Сократим 675 и 45 на 45: \(675 : 45 = 15\), \(45 : 45 = 1\).
14. \(x = \frac{37 \cdot 15}{1 \cdot 1081} = \frac{555}{1081}\).

Ответ: x = \(\frac{555}{1081}\).