4.20. Найдите значение выражения \(\log_{\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}}(4\sqrt{5}+9)\).

1. Упростим основание: \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\), поскольку \(\sqrt{5}>2\).
2. Заметим, что \((\sqrt{5}+2)^2=9+4\sqrt{5}\), а \((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1\). Поэтому \(4\sqrt{5}+9=(\sqrt{5}-2)^{-2}\).
3. Следовательно, \(\log_{\sqrt{5}-2}\bigl((\sqrt{5}-2)^{-2}\bigr)=-2\).

Ответ: \(-2\).