4.24. Найдите смежные углы MKE и PKE, если угол FKE на 24° больше угла PKE, где луч KF — биссектриса угла MKE.

Обозначим величину угла \(\angle PKE\) через \(x\).

1. Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\), поэтому \(\angle MKE=180^\circ-x\).
2. Так как луч \(KF\) — биссектриса угла \(MKE\), то \(\angle FKE=\dfrac{180^\circ-x}{2}\).
3. По условию \(\angle FKE=x+24^\circ\). Составим уравнение: \[\frac{180-x}{2}=x+24.\]
4. Решим его: \[180-x=2x+48,\quad 132=3x,\quad x=44^\circ.\]
5. Тогда \(\angle PKE=44^\circ\), а \[\angle MKE=180^\circ-44^\circ=136^\circ.\]

Проверка: биссектриса делит угол \(MKE\) пополам, поэтому \(\angle FKE=136^\circ:2=68^\circ\), а \(68^\circ-44^\circ=24^\circ\).

Ответ: \(\angle MKE=136^\circ\), \(\angle PKE=44^\circ\).