4.27. Упростите: 1) \(\sqrt{4+2\sqrt3}\); 2) \(\sqrt{9+4\sqrt5}\); 3) \(\sqrt{10-2\sqrt{21}}\); 4) \(\sqrt{11-4\sqrt7}\).

1. Ищем числа, сумма которых равна 4, а произведение — 3: это 1 и 3. Поэтому \(\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt1+\sqrt3=1+\sqrt3\).
2. Числа 4 и 5 дают сумму 9, а \(2\sqrt{4\cdot5}=4\sqrt5\). Значит, \(\sqrt{9+4\sqrt5}=2+\sqrt5\).
3. Числа 7 и 3 дают сумму 10, а \(2\sqrt{7\cdot3}=2\sqrt{21}\). Поэтому \(\sqrt{10-2\sqrt{21}}=\sqrt7-\sqrt3\), поскольку \(\sqrt7>\sqrt3\).
4. Числа 7 и 4 дают сумму 11, а \(2\sqrt{7\cdot4}=4\sqrt7\). Следовательно, \(\sqrt{11-4\sqrt7}=\sqrt7-2\), поскольку \(\sqrt7>2\).

Ответ: 1) \(1+\sqrt3\); 2) \(2+\sqrt5\); 3) \(\sqrt7-\sqrt3\); 4) \(\sqrt7-2\).