4.28. Упростите: 1) $\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}$; 2) $\sqrt{14+6\sqrt5}-\sqrt{14-6\sqrt5}$; 3) $\sqrt{28+10\sqrt3}-\sqrt{28-10\sqrt3}$; 4) $\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{7+\sqrt{48}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.28. Упростите: 1) $\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}$; 2) $\sqrt{14+6\sqrt5}-\sqrt{14-6\sqrt5}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$, а $7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2$, получаем $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$.
Имеем $14+6\sqrt5=(3+\sqrt5)^2$ и $14-6\sqrt5=(3-\sqrt5)^2$. Поэтому выражение равно $(3+\sqrt5)-(3-\sqrt5)=2\sqrt5$.
Имеем $28+10\sqrt3=(5+\sqrt3)^2$ и $28-10\sqrt3=(5-\sqrt3)^2$. Значит, выражение равно $(5+\sqrt3)-(5-\sqrt3)=2\sqrt3$.
Поскольку $5+\sqrt{24}=5+2\sqrt6=(\sqrt3+\sqrt2)^2$, а $7+\sqrt{48}=7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2$, получаем $(\sqrt3+\sqrt2)-(2+\sqrt3)=\sqrt2-2$.

Ответ: 1) 4; 2) $2\sqrt5$; 3) $2\sqrt3$; 4) $\sqrt2-2$.

4.28. Упростите: 1) \(\sqrt{7+4\sqrt3}+\sqrt{7-4\sqrt3}\); 2) \(\sqrt{14+6\sqrt5}-\sqrt{14-6\sqrt5}\); 3) \(\sqrt{28+10\sqrt3}-\sqrt{28-10\sqrt3}\); 4) \(\sqrt{5+\sqrt{24}}-\sqrt{7+\sqrt{48}}\).