4) 2sin²x + 3 sin x cos x - 2 cos² x =

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Чтобы решить его, разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и уравнение примет вид \( 2(\pm 1)^2 + 0 - 0 = 0 \), что неверно).

1. Разделим уравнение на \( \cos^2 x \):
   \( \frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
2. Упростим, используя \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \):
   \( 2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x - 2 = 0 \)
3. Сделаем замену \( y = \operatorname{tg} x \). Получим квадратное уравнение:
   \( 2y^2 + 3y - 2 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]
5. Найдем корни:
   \[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
   \[ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]
6. Вернемся к замене \( \operatorname{tg} x = y \):
   1) \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{2} \) \(\implies\) \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
   2) \( \operatorname{tg} x = -2 \) \(\implies\) \( x = \operatorname{arctg} (-2) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{2} \right) + \pi k \) и \( x = \operatorname{arctg} (-2) + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).