4.3. а) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. В треугольнике BOC проведена медиана OM, ∠OCM = 36°. Найдите угол AOM. б) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. В треугольнике COD проведена биссектриса ON, ∠OCN = 27°. Найдите угол AON.

а) Так как OM — медиана треугольника BOC, точка M лежит на BC. Следовательно, \(\angle OCM=\angle OCB=36^\circ\). В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OB=OC\). Треугольник BOC равнобедренный, значит, \(\angle OBC=\angle OCB=36^\circ\).

Поскольку \(AB\perp BC\), угол между OB и BA равен \(90^\circ-36^\circ=54^\circ\). Лучи OA и OB противоположны, как и лучи OM и OB, поэтому \(\angle AOM\) равен углу между OA и вертикальной медианой OM. Медиана к основанию BC в равнобедренном треугольнике перпендикулярна BC, следовательно, \(OM\perp BC\). Тогда \(\angle AOM=90^\circ-54^\circ=36^\circ\).

б) В треугольнике COD точка N лежит на OD, поэтому \(\angle OCN=\angle OCD=27^\circ\). Так как \(ON\) — биссектриса угла COD, получаем \(\angle CON=\angle NOD\). Лучи OA и OC противоположны, а OB и OD — противоположны; из равенства диагоналей прямоугольника следует, что треугольник COD равнобедренный, и его углы при C и D равны. Значит, \(\angle OCD=27^\circ\), \(\angle CDO=27^\circ\), а \(\angle COD=126^\circ\). Тогда \(\angle CON=63^\circ\). Поскольку OA противоположен OC, \(\angle AON=180^\circ-63^\circ=117^\circ\).

Ответ: а) 36°; б) 117°.