4. \(3^{x+2} - 3^x = 810\)

Решение:

1. Преобразуем уравнение, вынеся общий множитель \(3^x\) за скобки:

\[ 3^x \cdot 3^2 - 3^x = 810 \]
\[ 3^x (9 - 1) = 810 \]
\[ 3^x \cdot 8 = 810 \]

2. Разделим обе части уравнения на 8:

\[ 3^x = \frac{810}{8} \]
\[ 3^x = \frac{405}{4} \]

3. Так как \( \frac{405}{4} \) не является степенью тройки, решение будет выражено через логарифм:

\[ x = \log_3 \left( \frac{405}{4} \right) \]

Разложим \( \frac{405}{4} \) для упрощения:

\( 405 = 5 \cdot 81 = 5 \cdot 3^4 \)

Подставим обратно в логарифм:

\[ x = \log_3 \left( \frac{3^4 \cdot 5}{4} \right) \]

Используем свойства логарифма:

\[ x = \log_3 (3^4) + \log_3 5 - \log_3 4 \]
\[ x = 4 + \log_3 5 - \log_3 4 \]

Ответ: \( x = 4 + \log_3 5 - \log_3 4 \).