4.30. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{a-c}{a-\sqrt{2a}}\cdot\frac{a-2}{\sqrt a-\sqrt c}\cdot\left(\sqrt2-\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt a+\sqrt2}\right)$; 2) $\left(\frac{a^2}{2}-\frac a{\sqrt2}+1\right)\left(\frac{a^2}{2}+\frac a{\sqrt2}+1\right)\cdot\frac{\sqrt2}{a^4+2a^2+4}$; 3) $\frac{x+2\sqrt3}{3x-3\sqrt3}-\frac{3y-x}{2x-2y}+\frac{x^2-y\sqrt3}{x^2-xy+y\sqrt3-x\sqrt3}$; 4) $\left(\frac{\sqrt c}{\sqrt c+\sqrt a}+\frac{\sqrt a}{\sqrt c-\sqrt a}+\frac{2\sqrt{ac}}{c-a}\right)\left(\sqrt c-\frac{\sqrt{ac}+a}{\sqrt c+\sqrt a}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.30. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) \(\frac{a-c}{a-\sqrt{2a}}\cdot\frac{a-2}{\sqrt a-\sqrt…$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $u=\sqrt a$, $v=\sqrt c$. Тогда $a-c=(u-v)(u+v)$, $a-\sqrt{2a}=u(u-\sqrt2)$, $a-2=(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)$, а скобка равна $\sqrt2-\frac{\sqrt2u}{u+\sqrt2}=\frac2{u+\sqrt2}$. Поэтому выражение равно $\frac{u+v}{u}\cdot\frac{u+\sqrt2}{v}\cdot\frac2{u+\sqrt2}=\frac{2(u+v)}{uv}$.
Жауабы: $\frac{2(\sqrt a+\sqrt c)}{\sqrt{ac}}$.
$\left(\frac{a^2}{2}+1\right)^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a^4+2a^2+4}{4}$. Сондықтан $\frac{a^4+2a^2+4}{4}\cdot\frac{\sqrt2}{a^4+2a^2+4}=\frac{\sqrt2}{4}$.
Жауабы: $\frac{\sqrt2}{4}$.
Ортақ бөлімдерді жіктейміз: $3x-3\sqrt3=3(x-\sqrt3)$, $2x-2y=2(x-y)$, ал $x^2-xy+y\sqrt3-x\sqrt3=(x-\sqrt3)(x-y)$. Ортақ бөлімге келтіргенде алым нөлге тең болады, сондықтан өрнек $0$-ге тең.
Жауабы: $0$.
$u=\sqrt c$, $v=\sqrt a$ десек, бірінші жақша: $\frac u{u+v}+\frac v{u-v}+\frac{2uv}{(u-v)(u+v)}=\frac{u}{u-v}$. Екінші жақша: $u-\frac{uv+v^2}{u+v}=\frac{u^2}{u+v}$. Демек, көбейтінді $\frac{u^3}{(u-v)(u+v)}=\frac{c\sqrt c}{c-a}$.
Жауабы: $\frac{c\sqrt c}{c-a}$.

Ответ: