4.31. \(\frac{8^{k} \cdot 27^{k} \cdot (5^{k+1})^{2}}{25^{k} \cdot 5 \cdot (2^{k}-1)^{2} \cdot 3^{2k} \cdot 2^{k}}\)

Решение:

Упростим выражение, представив основания степеней в виде простых множителей:

\( 8 = 2^3 \), \( 27 = 3^3 \), \( 25 = 5^2 \).

Подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \frac{(2^3)^k \cdot (3^3)^k \cdot (5^{k+1})^2}{(5^2)^k \cdot 5^1 \cdot (2^k-1)^2 \cdot 3^{2k} \cdot 2^k} \]

Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\[ \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2(k+1)}}{5^{2k} \cdot 5^1 \cdot (2^k-1)^2 \cdot 3^{2k} \cdot 2^k} = \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2k+2}}{5^{2k+1} \cdot (2^k-1)^2 \cdot 3^{2k} \cdot 2^k} \]

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ \frac{2^{3k}}{2^k} \cdot \frac{3^{3k}}{3^{2k}} \cdot \frac{5^{2k+2}}{5^{2k+1}} \cdot \frac{1}{(2^k-1)^2} \]

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 2^{3k-k} \cdot 3^{3k-2k} \cdot 5^{(2k+2)-(2k+1)} \cdot \frac{1}{(2^k-1)^2} = 2^{2k} \cdot 3^k \cdot 5^1 \cdot \frac{1}{(2^k-1)^2} \]

Перепишем в более компактном виде:

\[ \frac{2^{2k} \cdot 3^k \cdot 5}{(2^k-1)^2} \]

Заметим, что \( 2^{2k} = (2^2)^k = 4^k \).

\[ \frac{4^k \cdot 3^k \cdot 5}{(2^k-1)^2} = \frac{(4 \cdot 3)^k \cdot 5}{(2^k-1)^2} = \frac{12^k \cdot 5}{(2^k-1)^2} \]

Или, в другом порядке:

\[ \frac{5 \cdot 12^k}{(2^k-1)^2} \]

Примечание: Выражение \( (2^k-1)^2 \) в знаменателе не может быть дальше упрощено без дополнительных условий или значений для \( k \).

Ответ: $$\frac{5 \cdot 12^k}{(2^k-1)^2}$$