4.31. Simplify the expression: $$ \frac{8^k \cdot 27^k \cdot (5^{k+1})^2}{25^k \cdot 5 \cdot (2^{k-1})^2 \cdot 3^{3k} \cdot 2^k} $$

Решение:

Для упрощения выражения приведём все основания степеней к простым числам.

1. Разложим числа на простые множители:
   \( 8 = 2^3 \)
   \( 27 = 3^3 \)
   \( 25 = 5^2 \)
2. Подставим разложения в исходное выражение:
   $$ \frac{(2^3)^k \cdot (3^3)^k \cdot (5^{k+1})^2}{(5^2)^k \cdot 5^1 \cdot (2^{k-1})^2 \cdot 3^{3k} \cdot 2^k} $$
3. Применим свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
   $$ \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2(k+1)}}{5^{2k} \cdot 5^1 \cdot 2^{2(k-1)} \cdot 3^{3k} \cdot 2^k} = \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2k+2}}{5^{2k+1} \cdot 2^{2k-2} \cdot 3^{3k} \cdot 2^k} $$
4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе:
   $$ \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2k+2}}{2^{2k-2+k} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2k+1}} = \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2k+2}}{2^{3k-2} \cdot 3^{3k} \cdot 5^{2k+1}} $$
5. Сократим одинаковые степени и применим свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   $$ 2^{3k - (3k-2)} \cdot 3^{3k - 3k} \cdot 5^{(2k+2) - (2k+1)} = 2^{3k - 3k + 2} \cdot 3^0 \cdot 5^{2k+2 - 2k - 1} = 2^2 \cdot 1 \cdot 5^1 $$
6. Вычислим окончательный результат:
   \( 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20 \)

Ответ: 20.