4. (36.) Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)^2(x+2)}{x-3}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge 0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. (36.) Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)^2(x+2)}{x-3}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge 0$.$ Фото задания

4. (36.) Решите неравенство: а) $\frac{(x-2)^2(x+2)}{x-3}<0$; б) $\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge 0$.

Accepted Answer

а) Критические точки: $-2$ и $2$ — нули числителя, $3$ — нуль знаменателя и исключается из ОДЗ. Множитель $(x-2)^2$ положителен при $x\ne2$, поэтому знак дроби определяется отношением $\frac{x+2}{x-3}$. Оно отрицательно на интервале $(-2,3)$. Так как неравенство строгое, точки $-2$ и $2$, где выражение равно нулю, не входят в ответ; точка $3$ не входит в ОДЗ.

Ответ: $(-2,2)\cup(2,3)$.

б) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}=\frac{(x-5)^2}{(x-6)(x+2)}$, причём $x\ne6,-2$.

Числитель неотрицателен и равен нулю при $x=5$. Знаменатель положителен при $x<-2$ и $x>6$, отрицателен при $-2<x<6$. Поэтому дробь положительна на первых двух интервалах, а точка $x=5$ также подходит, поскольку значение дроби в ней равно нулю.

Ответ: $(-\infty,-2)\cup\{5\}\cup(6,+\infty)$.

4. (36.) Решите неравенство: а) \(\frac{(x-2)^2(x+2)}{x-3}<0\); б) \(\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12}\ge 0\).

Ответ: