4) \(4\cdot\log_{49}^2 x+4\cdot\log_{49} x+1=0\)

Область допустимых значений: \(x>0\).

Обозначим \(t=\log_{49} x\). Тогда:

\(4t^2+4t+1=0\).

Это полный квадрат: \((2t+1)^2=0\), следовательно, \(t=-\frac{1}{2}\).

Возвращаемся к переменной \(x\):

\(\log_{49}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=49^{-1/2}=\frac{1}{7}\).

Ответ: \(\frac{1}{7}\).