4.44. Числа $a$, $b$ и $\sqrt a+\sqrt b$ — рациональные. Докажите, что $\sqrt a$ и $\sqrt b$ — рациональные числа.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.44. Числа $a$, $b$ и $\sqrt a+\sqrt b$ — рациональные. Докажите, что $\sqrt a$ и $\sqrt b$ — рациональные числа.$ Фото задания

4.44. Числа $a$, $b$ и $\sqrt a+\sqrt b$ — рациональные. Докажите, что $\sqrt a$ и $\sqrt b$ — рациональные числа.

Accepted Answer

Так как корни действительные, то $a\ge 0$ и $b\ge 0$.

Обозначим $s=\sqrt a+\sqrt b$. По условию $s\in\mathbb{Q}$.
Рассмотрим разность корней. Используем формулу разности квадратов:
\[\sqrt a-\sqrt b=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{a-b}{s}.\]
Если $s\ne0$, то $a-b$ и $s$ рациональны, поэтому $\sqrt a-\sqrt b$ — рациональное число.
Теперь складываем и вычитаем полученные равенства:
\[\sqrt a=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)+(\sqrt a-\sqrt b)}2=\frac{s+(a-b)/s}{2},\]
\[\sqrt b=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)-(\sqrt a-\sqrt b)}2=\frac{s-(a-b)/s}{2}.\]
Обе величины рациональны.
Если $s=0$, то $\sqrt a\ge0$ и $\sqrt b\ge0$. Их сумма может быть равна нулю только при $\sqrt a=\sqrt b=0$, что также является рациональными числами.

Ответ: $\sqrt a$ и $\sqrt b$ — рациональные числа.

4.44. Числа \(a\), \(b\) и \(\sqrt a+\sqrt b\) — рациональные. Докажите, что \(\sqrt a\) и \(\sqrt b\) — рациональные числа.

Ответ: