4.45. Упростите выражение: а) $\frac{4a}{a+2}-\frac{3a^2+8a+4}{(a+2)^2}$; б) $\frac{7n^2+mn-8m^2}{m^2-2mn+n^2}-\frac{8m}{n-m}$; в) $\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2}-\frac{9y}{y-x}$; г) $\frac{5+13p-6p^2}{9p^2+6p+1}+\frac{2p}{3p+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.45. Упростите выражение: а) $\frac{4a}{a+2}-\frac{3a^2+8a+4}{(a+2)^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём к знаменателю $(a+2)^2$:
\[\frac{4a(a+2)-(3a^2+8a+4)}{(a+2)^2}=\frac{a^2-4}{(a+2)^2}=\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}=\frac{a-2}{a+2}.\]
Ограничение: $a\ne-2$.
Заметим, что $m^2-2mn+n^2=(n-m)^2$. Приведём к этому знаменателю:
\[\frac{7n^2+mn-8m^2}{(n-m)^2}-\frac{8m(n-m)}{(n-m)^2}=\frac{7n^2+9mn-16m^2}{(n-m)^2}.\]
Числитель раскладывается: $7n^2+9mn-16m^2=(7n+16m)(n-m)$. Сокращаем:
\[\frac{(7n+16m)(n-m)}{(n-m)^2}=\frac{7n+16m}{n-m}.\]
Ограничение: $n\ne m$.
Поскольку $y-x=-(x-y)$, имеем $-\frac{9y}{y-x}=\frac{9y}{x-y}$. Приведём к общему знаменателю:
\[\frac{8y^2-9xy+x^2+9y(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{x^2-9y^2}{(x-y)^2}=\frac{(x-3y)(x+3y)}{(x-y)^2}.\]
Ограничение: $x\ne y$.
Разложим знаменатель и числитель первой дроби: $9p^2+6p+1=(3p+1)^2$, $5+13p-6p^2=(3p+1)(5-2p)$.
\[\frac{5-2p}{3p+1}+\frac{2p}{3p+1}=\frac{5}{3p+1}.\]
Ограничение: $p\ne-\frac13$.

Ответ: а) $\frac{a-2}{a+2}$; б) $\frac{7n+16m}{n-m}$; в) $\frac{(x-3y)(x+3y)}{(x-y)^2}$; г) $\frac{5}{3p+1}$.

4.45. Упростите выражение: а) \(\frac{4a}{a+2}-\frac{3a^2+8a+4}{(a+2)^2}\); б) \(\frac{7n^2+mn-8m^2}{m^2-2mn+n^2}-\frac{8m}{n-m}\); в) \(\frac{8y^2-9xy+x^2}{(x-y)^2}-\frac{9y}{y-x}\); г) \(\frac{5+13p-6p^2}{9p^2+6p+1}+\frac{2p}{3p+1}\).