4.5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y=x^3\), \(y=2x-x^2\) и осью \(Ox\).

Найдём точки пересечения графиков: \(x^3=2x-x^2\), откуда \(x(x+2)(x-1)=0\). Следовательно, абсциссы пересечений: \(-2, 0, 1\). Вместе с осью \(Ox\) графики ограничивают две конечные области: на отрезке \([-2,0]\) и на отрезке \([0,1]\).

На \([-2,0]\) сверху расположен график \(y=x^3\), снизу — \(y=2x-x^2\): обе функции неположительны, а их разность \(x^3-(2x-x^2)=x(x+2)(x-1)\) неотрицательна.

\[S_1=\int_{-2}^{0}\bigl(x^3-(2x-x^2)\bigr)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-2}^{0}=\frac{8}{3}.\]

На \([0,1]\) сверху расположен график \(y=2x-x^2\), снизу — \(y=x^3\).

\[S_2=\int_{0}^{1}\bigl((2x-x^2)-x^3\bigr)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{5}{12}.\]

Суммарная площадь: \(S=S_1+S_2=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\).

Ответ: \(\frac{37}{12}\) кв. ед.