4.5. Упростите выражение: а) $\left(\frac{1+c^3}{1+c}-c\right)\cdot\frac{1+c}{1-c^2}$; б) $\frac{b+3}{b^3+9b}\cdot\left(\frac{b+3}{b-3}+\frac{b-3}{b+3}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4.5. Упростите выражение: а) $\left(\frac{1+c^3}{1+c}-c\right)\cdot\frac{1+c}{1-c^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

Преобразуем выражение в скобках:

\[\frac{1+c^3}{1+c}-c=\frac{1+c^3-c(1+c)}{1+c}=\frac{c^3-c^2-c+1}{1+c}.\]

Разложим числитель на множители:

\[c^3-c^2-c+1=(c-1)^2(c+1).\]

Следовательно,

\[\left(\frac{1+c^3}{1+c}-c\right)\cdot\frac{1+c}{1-c^2}=(c-1)^2\cdot\frac{1+c}{(1-c)(1+c)}=\frac{(c-1)^2}{1-c}=1-c.\]

б)

Сначала сложим дроби в скобках:

\[\frac{b+3}{b-3}+\frac{b-3}{b+3}=\frac{(b+3)^2+(b-3)^2}{(b-3)(b+3)}.\]

\[(b+3)^2+(b-3)^2=2b^2+18=2(b^2+9).\]

Кроме того, $b^3+9b=b(b^2+9)$. Поэтому

\[\frac{b+3}{b(b^2+9)}\cdot\frac{2(b^2+9)}{(b-3)(b+3)}=\frac{2}{b(b-3)}.\]

Ответ: а) $1-c$; б) $\frac{2}{b(b-3)}$.

4.5. Упростите выражение: а) \(\left(\frac{1+c^3}{1+c}-c\right)\cdot\frac{1+c}{1-c^2}\); б) \(\frac{b+3}{b^3+9b}\cdot\left(\frac{b+3}{b-3}+\frac{b-3}{b+3}\right)\).