4.5. Упростите выражения: а) ((1 + c³)/(1 + c) − c) · (1 + c)/(1 − c²); б) (b + 3)/(b³ + 9b) · ((b + 3)/(b − 3) + (b − 3)/(b + 3)); в) ((x³ − 8)/(x − 2) + 2x) : ((x² + 4x + 4)/(2 − x)); г) (x² − 9)/(2x² + 1) · ((6x + 1)/(x − 3) + (6x − 1)/(x + 3)).

а) Разложим сумму кубов и разность квадратов:

\[\left(\frac{1+c^3}{1+c}-c\right)\cdot\frac{1+c}{1-c^2}=\left(c^2-c+1-c\right)\cdot\frac{1+c}{(1-c)(1+c)}=\frac{(c-1)^2}{1-c}=1-c.\]

Ограничения исходного выражения: \(c\ne -1\) и \(c\ne 1\).

б) Разложим знаменатель и сложим дроби в скобках:

\[\frac{b+3}{b^3+9b}\left(\frac{b+3}{b-3}+\frac{b-3}{b+3}\right)=\frac{b+3}{b(b^2+9)}\cdot\frac{(b+3)^2+(b-3)^2}{(b-3)(b+3)}.\]

\[(b+3)^2+(b-3)^2=2b^2+18=2(b^2+9),\qquad \frac{b+3}{b(b^2+9)}\cdot\frac{2(b^2+9)}{(b-3)(b+3)}=\frac{2}{b(b-3)}.\]

Ограничения: \(b\ne 0\), \(b\ne 3\), \(b\ne -3\).

в) Разложим разность кубов и упростим делимое:

\[\left(\frac{x^3-8}{x-2}+2x\right):\frac{x^2+4x+4}{2-x}=\left(x^2+2x+4+2x\right):\frac{(x+2)^2}{2-x}.\]

\[=(x+2)^2\cdot\frac{2-x}{(x+2)^2}=2-x.\]

В исходном выражении необходимо \(x\ne 2\); кроме того, делитель не должен равняться нулю, поэтому \(x\ne -2\).

г) Сложим дроби в скобках:

\[\frac{(6x+1)(x+3)+(6x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{12x^2+6}{x^2-9}=\frac{6(2x^2+1)}{x^2-9}.\]

\[\frac{x^2-9}{2x^2+1}\cdot\frac{6(2x^2+1)}{x^2-9}=6.\]

Ограничения: \(x\ne 3\) и \(x\ne -3\).

Ответ: а) \(1-c\); б) \(\frac{2}{b(b-3)}\); в) \(2-x\); г) \(6\).