4.6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y=3-x\), \(y=x^2+1\).

Найдём точки пересечения: \(3-x=x^2+1\), поэтому \(x^2+x-2=0\), то есть \((x+2)(x-1)=0\). Абсциссы границ области: \(x=-2\) и \(x=1\).

На отрезке \([-2,1]\) прямая расположена выше параболы, поскольку \((3-x)-(x^2+1)=-(x+2)(x-1)\ge 0\). Поэтому

\[S=\int_{-2}^{1}\bigl((3-x)-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx.\]

\[S=\left[2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}.\]

Ответ: \(\frac{9}{2}\) кв. ед.