4.6. Упростите выражения: а) (m/(n² − mn) + n/(m² − mn)) · mn/(n + m); б) (r² − 25)/(r + 3) · 1/(r² + 5r) − (r + 5)/(r² − 3r); в) (st/(s² − t²) + t/(2t − 2s)) · (s + t)/(2t); г) (3a + b)/(a²b − ab²) + (b − a)/(ab) : (a² − b²)/(3a − b).

а) Разложим знаменатели на множители и приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

\[\left(\frac{m}{n(n-m)}+\frac{n}{m(m-n)}\right)\cdot\frac{mn}{n+m}=\left(\frac{m}{n(n-m)}-\frac{n}{m(n-m)}\right)\cdot\frac{mn}{n+m}.\]

\[=\frac{m^2-n^2}{mn(n-m)}\cdot\frac{mn}{n+m}=-\frac{m+n}{mn}\cdot\frac{mn}{n+m}=-1.\]

Ограничения: \(m\ne 0\), \(n\ne 0\), \(m\ne n\), \(m\ne -n\).

б) Разложим знаменатели на множители и выполним умножение:

\[\frac{r^2-25}{r+3}\cdot\frac{1}{r^2+5r}-\frac{r+5}{r^2-3r}=\frac{(r-5)(r+5)}{(r+3)r(r+5)}-\frac{r+5}{r(r-3)}.\]

\[=\frac{r-5}{r(r+3)}-\frac{r+5}{r(r-3)}=\frac{(r-5)(r-3)-(r+5)(r+3)}{r(r+3)(r-3)}.\]

\[=\frac{-16r}{r(r^2-9)}=-\frac{16}{r^2-9}.\]

Ограничения исходного выражения: \(r\ne -3\), \(r\ne 0\), \(r\ne -5\), \(r\ne 3\).

в) Разложим разность квадратов и учтём, что \(2t-2s=-2(s-t)\):

\[\left(\frac{st}{(s-t)(s+t)}-\frac{t}{2(s-t)}\right)\cdot\frac{s+t}{2t}=\frac{2st-t(s+t)}{2(s-t)(s+t)}\cdot\frac{s+t}{2t}.\]

\[=\frac{t(s-t)}{2(s-t)(s+t)}\cdot\frac{s+t}{2t}=\frac14.\]

Ограничения: \(t\ne 0\), \(s\ne t\), \(s\ne -t\).

г) Сначала выполним деление дробей, затем сложение:

\[\frac{3a+b}{ab(a-b)}+\frac{b-a}{ab}\cdot\frac{3a-b}{a^2-b^2}=\frac{3a+b}{ab(a-b)}-\frac{3a-b}{ab(a+b)}.\]

\[=\frac{(3a+b)(a+b)-(3a-b)(a-b)}{ab(a-b)(a+b)}=\frac{8ab}{ab(a^2-b^2)}=\frac{8}{a^2-b^2}.\]

Ограничения исходного выражения: \(a\ne 0\), \(b\ne 0\), \(a\ne b\), \(a\ne -b\), \(3a\ne b\).

Ответ: а) \(-1\); б) \(-\frac{16}{r^2-9}\); в) \(\frac14\); г) \(\frac{8}{a^2-b^2}\).