4) a) (\(\frac{5x^{-2}}{6y^{-1}}\))^{-3} \cdot 125x^{-6}y^{5}; б)

Решение:

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней:

• Основное свойство: \[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \text{ и } \left( a^m \right)^n = a^{m \cdot n} \]
• Отрицательная степень: \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \text{ и } \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n \]

Шаг 1: Преобразуем первую часть выражения, используя свойство отрицательной степени.

\[ \left( \frac{5x^{-2}}{6y^{-1}} \right)^{-3} = \left( \frac{6y^{-1}}{5x^{-2}} \right)^{3} \]

Шаг 2: Применим степень к числителю и знаменателю.

\[ \left( \frac{6y^{-1}}{5x^{-2}} \right)^{3} = \frac{(6y^{-1})^3}{(5x^{-2})^3} = \frac{6^3 \cdot (y^{-1})^3}{5^3 \cdot (x^{-2})^3} \]

Шаг 3: Раскроем степени чисел и степени степеней.

\[ \frac{216 \cdot y^{-3}}{125 \cdot x^{-6}} \]

Шаг 4: Применим свойство отрицательной степени для перевода отрицательных показателей степени в положительные.

\[ \frac{216 \cdot y^{-3}}{125 \cdot x^{-6}} = \frac{216}{125} \cdot \frac{x^{-6}}{y^{3}} \quad \text{ (ошибка в предыдущем шаге, должно быть } \frac{216}{125} \cdot \frac{x^{6}}{y^{3}} \text{, если переносить } x^{-6} \text{ в числитель) } \]

Исправление Шага 4:

\[ \frac{216 y^{-3}}{125 x^{-6}} = \frac{216}{125} \cdot y^{-3} \cdot x^{6} \]

Шаг 5: Перепишем выражение, чтобы получить положительные степени.

\[ \frac{216 x^{6}}{125 y^{3}} \]

Шаг 6: Теперь умножим полученное выражение на вторую часть исходного:

\[ \frac{216 x^{6}}{125 y^{3}} \cdot 125x^{-6}y^{5} \]

Шаг 7: Сократим и упростим выражение.

\[ \frac{216 \cancel{x^{6}}}{ \cancel{125} \; y^{3}} \cdot \cancel{125} x^{-6}y^{5} = 216 \cdot y^{-3} \cdot y^{5} \]

Шаг 8: Сложим степени с одинаковым основанием.

\[ 216 \cdot y^{-3+5} = 216 \cdot y^{2} \]

Итоговый ответ:

\[ 216y^{2} \]

Ответ: 216y²