4. а) На плоскости отметили 5 точек, причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждую пару этих точек провели прямую. Сколько всего получилось прямых? б) На плоскости провели 9 прямых. В каком наибольшем числе точек могут пересекать друг друга эти прямые?

а) Каждая прямая определяется парой точек. Число пар из 5 точек равно \(\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}=10\). Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, все эти прямые различны.

б) Наибольшее число точек пересечения получается, если никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Тогда каждая пара прямых даёт отдельную точку пересечения: \(\binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2}=36\).

Ответ: а) 10 прямых; б) 36 точек.