4) а) Одна сторона треугольника на 6 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см. б) Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.

Применим теорему косинусов. Пусть меньшая из двух сторон, образующих угол 60°, равна \(x\) см, а разность их длин равна \(d\) см. Тогда стороны равны \(x\) и \(x+d\), а сторона напротив угла 60° равна 14 см.

По теореме косинусов: \(14^2=x^2+(x+d)^2-2x(x+d)\cos 60^\circ\), поэтому \(x^2+dx+d^2=196\).

1. Если разность сторон равна 6 см, то \(x^2+6x+36=196\), откуда \(x^2+6x-160=0\). Корни: 10 и −16; длина не может быть отрицательной, поэтому \(x=10\). Стороны: 10 см и 16 см. Периметр: 10 + 16 + 14 = 40 см.

2. Если разность сторон равна 10 см, то \(x^2+10x+100=196\), откуда \(x^2+10x-96=0\). Корни: 6 и −16; длина не может быть отрицательной, поэтому \(x=6\). Стороны: 6 см и 16 см. Периметр: 6 + 16 + 14 = 36 см.

Ответ: а) 40 см; б) 36 см.