4. а) Решите уравнение 1 + log2(9x² + 5) = log√2 √ 8x⁴ + 14. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 8/9].

\( 1 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^4 + 14} \)

Используем свойства логарифмов: \( \log_{\sqrt{a}} b = 2 \log_a b \) и \( \sqrt{x^4} = x^2 \).

\( \log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^4 + 14} = \log_{\sqrt{2}} (8x^4 + 14)^{1/2} = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{2}} (8x^4 + 14) \)

\( = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_2 (8x^4 + 14) = \log_2 (8x^4 + 14) \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 1 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_2 (8x^4 + 14) \)

Перенесём \( \log_2(9x^2 + 5) \) в правую часть:

\( 1 = \log_2 (8x^4 + 14) - \log_2(9x^2 + 5) \)

Используем свойство \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \):

\( 1 = \log_2 \frac{8x^4 + 14}{9x^2 + 5} \)

Представим \( 1 \) как \( \log_2 2 \):

\( \log_2 2 = \log_2 \frac{8x^4 + 14}{9x^2 + 5} \)

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( 2 = \frac{8x^4 + 14}{9x^2 + 5} \)

Умножим обе части на \( (9x^2 + 5) \), предполагая, что \( 9x^2 + 5 \neq 0 \) (что всегда верно, так как \( x^2 \ge 0 \) ):

\( 2(9x^2 + 5) = 8x^4 + 14 \)

\( 18x^2 + 10 = 8x^4 + 14 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 8x^4 - 18x^2 + 4 = 0 \)

Разделим на 2:

\( 4x^4 - 9x^2 + 2 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \( y = x^2 \), где \( y \ge 0 \).

\( 4y^2 - 9y + 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 \)

\( \sqrt{D} = 7 \)

Найдём корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 \)

\( y_2 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

Теперь вернёмся к замене \( x^2 = y \):

1) \( x^2 = 2 \) \( \implies \) \( x = \pm\sqrt{2} \)

2) \( x^2 = \frac{1}{4} \) \( \implies \) \( x = \pm\frac{1}{2} \)

Также необходимо проверить область допустимых значений (ОДЗ) для исходного логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

\( 9x^2 + 5 > 0 \) — выполняется для любого действительного \( x \) , так как \( x^2 ≥ 0 \).

\( 8x^4 + 14 > 0 \) — выполняется для любого действительного \( x \) , так как \( x^4 ≥ 0 \).

Следовательно, все найденные корни являются решениями уравнения.

Сравним найденные корни с заданным отрезком \( [-1; \frac{8}{9}] \).

Приблизительные значения корней:

• \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
• \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \)
• \( \frac{1}{2} = 0.5 \)
• \( -\frac{1}{2} = -0.5 \)

Значение \( \frac{8}{9} \) приблизительно равно \( 0.889 \).

Проверим каждый корень:

• \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) — не принадлежит отрезку \( [-1; 0.889] \) , так как \( 1.414 > 0.889 \).
• \( -\sqrt{2} \approx -1.414 \) — не принадлежит отрезку \( [-1; 0.889] \) , так как \( -1.414 < -1 \).
• \( \frac{1}{2} = 0.5 \) — принадлежит отрезку \( [-1; 0.889] \) , так как \( -1 ≤ 0.5 ≤ 0.889 \).
• \( -\frac{1}{2} = -0.5 \) — принадлежит отрезку \( [-1; 0.889] \) , так как \( -1 ≤ -0.5 ≤ 0.889 \).