4. AB=BC болатын ABC теңбүйірлі үшбұрышы берілген. BC=4√6 см, CD=21 см. Егер O нүктесі AE және CD медианаларының қиылысу нүктесі болса, OE-ні тап.

Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі әр медиананы төбеден бастап \(2:1\) қатынасында бөледі. Сондықтан \(OE=\frac13 AE\).

Белгілейік: \(AB=BC=4\sqrt6\), сонда \(AB^2=BC^2=96\). \(CD\) — медиана, сондықтан медиана формуласы бойынша:

\(CD^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}\).

\(441=\frac{2\cdot96+2AC^2-96}{4}\), бұдан \(2AC^2=1668\), \(AC^2=834\).

Енді \(AE\) медианасын табамыз:

\(AE^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}=\frac{2\cdot96+2\cdot834-96}{4}=\frac{915}{2}\).

Сонда:

\(OE=\frac13\sqrt{\frac{915}{2}}=\frac{\sqrt{1830}}{6}\) см.

Жауабы: \(OE=\frac{\sqrt{1830}}{6}\) см.