4. \(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма, \(P_{ABC}=30\), \(CC_1=12\). Секущая плоскость проходит через прямую \(A_1B\) и центр грани \(A_1B_1C_1\). Найдите длину стороны сечения, которая лежит в грани \(BB_1C_1C\).

Периметр равностороннего основания равен 30, поэтому сторона основания \(s=30/3=10\). Высота призмы равна \(12\).

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(s,0,0)\), \(C(s/2,\sqrt{3}s/2,0)\); верхние вершины имеют ту же горизонтальную проекцию и координату \(z=12\). Центр верхней грани — \(G(s/2,\sqrt{3}s/6,12)\).

Плоскость проходит через \(A_1\), \(B\) и \(G\). Её пересечение с гранью \(BB_1C_1C\) — отрезок от \(B\) до точки \(Q\) на ребре \(C_1B_1\): поскольку \(G\) лежит на верхнем основании, второй конец стороны сечения на этой грани находится на верхнем ребре. Уравнение плоскости через заданные три точки даёт для её пересечения с верхним ребром параметр \(B_1Q/C_1B_1=1/3\); следовательно, \(B_1Q=s/3\).

В прямоугольной грани \(BB_1C_1C\) горизонтальная разность между \(B\text{–}Q\) равна \(s/3=10/3\), а вертикальная — \(12\). По теореме Пифагора длина стороны сечения равна \(\sqrt{12^2+(10/3)^2}=\sqrt{1296+100}/3=\frac{\sqrt{1396}}{3}=\frac{2\sqrt{349}}{3}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt{349}}{3}\).