4. ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Показать: AO = OC.

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и AD ∥ BC.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них ∠ABO = ∠CDO и ∠BAO = ∠DCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Кроме того, AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.

Следовательно, треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому соответствующие стороны равны: AO = OC.

Что и требовалось доказать.