4. ABCD — прямоугольник. Найти: AD. На рисунке AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°, а отмеченные углы ∠BAE и ∠AEB равны.

Так как отмеченные углы треугольника ABE равны, противоположные им стороны равны: AB = BE = 4 см.

В треугольнике AED известны ED = 6 см и ∠AED = 75°. По рисунку BE и EC лежат на одной прямой, поэтому ∠BED = 180° − 75° = 105°. Тогда ∠AEB = 105° − 75° = 30°.

Треугольник ABE равнобедренный, поэтому ∠BAE = ∠AEB = 30°. Поскольку угол прямоугольника при A равен 90°, ∠EAD = 90° − 30° = 60°.

В треугольнике AED по теореме синусов:

\(\dfrac{AD}{\sin 75^\circ}=\dfrac{ED}{\sin 60^\circ}\), следовательно \(AD=\dfrac{6\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}=3\sqrt{2}+\sqrt{6}\approx 6.69\) см.

Ответ: \(AD=3\sqrt{2}+\sqrt{6}\) см (примерно 6,69 см).