4. ABEK — прямоугольник (см. рис. 14). O — точка пересечения диагоналей. BK = 50, BA = 48, AK = 14, ∠EBK = α. Запишите величины: AE, Pₐₑₖ, ∠ABK, ∠BEO, ∠BOE.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали пересекаются и делятся пополам.

1. \(AE=BK?\) Нет: \(AE=BK\) не является свойством прямоугольника, так как \(BK\) — диагональ. Противоположные стороны равны, поэтому \(AE=BK?\) Исправляем: \(AE=AB=48\).
2. \(P_{AEK}=AE+EK+AK=48+50+14=112\). Здесь \(EK=AB=48\), поэтому периметр треугольника \(AEK\): \(P_{AEK}=48+50+14=112\).
3. Так как \(AB\perp BE\), то \(\angle ABK=90^\circ-\angle EBK=90^\circ-\alpha\).
4. Диагонали прямоугольника образуют с параллельными сторонами равные углы, поэтому \(\angle BEO=\alpha\).
5. В треугольнике \(BOE\) диагонали прямоугольника делятся пополам, значит \(OB=OE\). Его углы при основании равны \(\alpha\), поэтому \(\angle BOE=180^\circ-2\alpha\).

Ответ: \(AE=48\), \(P_{AEK}=112\), \(\angle ABK=90^\circ-\alpha\), \(\angle BEO=\alpha\), \(\angle BOE=180^\circ-2\alpha\).