4.) AD и CE – биссектрисы равнобедренного треугольника с основанием АС. Докажите, что ∆ АЕС = ∆ CDA.

Решение:

Дано:
∆ ABC – равнобедренный (AB = BC).
AD и CE – биссектрисы.
Доказать: ∆ AEC = ∆ CDA.

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. Так как AD и CE – биссектрисы, они делят углы пополам:
• \( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC \)
• \( \angle ACE = \frac{1}{2} \angle BCA \)
3. Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), то и их половины равны: \( \angle CAD = \angle ACE \).
4. Рассмотрим треугольники ∆ AEC и ∆ CDA:
• Сторона AC – общая для обоих треугольников.
• \( \angle CAE = \angle ACD \) (так как \( \angle CAE = \angle BAC \) и \( \angle ACD = \angle BCA \), а \( \angle BAC = \angle BCA \)).
• \( \angle ACE = \angle CAD \) (доказано в пункте 3).
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
6. Следовательно, ∆ AEC = ∆ CDA.

Доказано.