4. \angle MNK = (180^{\circ} - ) : 2 = ^{\circ}

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определение типа треугольника. Так как АВ и АС — касательные, проведенные из точки А к окружности, то отрезок АО (соединяющий точку А с центром окружности) является биссектрисой угла BAC и перпендикулярен хорде BC (если рассматривать BC как хорду, что не совсем верно в данном контексте, но АО делит угол BAC пополам). По условию, расстояние от точки А до центра окружности равно 13, а радиус окружности равен 5. Это значит, что О — центр окружности, а OA = 13, OB = OC = 5 (радиусы). Треугольник ABO является прямоугольным, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.
2. Шаг 2: Нахождение длины АВ. В прямоугольном треугольнике ABO, по теореме Пифагора: \( AB^2 + OB^2 = OA^2 \). Подставляем известные значения: \( AB^2 + 5^2 = 13^2 \). \( AB^2 + 25 = 169 \). \( AB^2 = 169 - 25 \). \( AB^2 = 144 \). \( AB = 12 \) (так как длина не может быть отрицательной).
3. Шаг 3: Определение длины АС. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны между собой. Следовательно, \( AC = AB \). По условию, \( AC = 12 \). Это подтверждает расчеты.

Ответ: AB = 12