4. АВЕК — прямоугольник (см. рис. 14). O — точка пересечения диагоналей. BK = 50, BA = 48, AK = 14, ∠EBK = α. Запишите величины: AE, P₍AEK₎, ∠ABK, ∠BEO, ∠BOE.

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому AE = BK = 50.

Стороны треугольника AEK: AE = 50, EK = BA = 48, AK = 14. Поэтому P₍AEK₎ = 50 + 48 + 14 = 112.

Так как ∠ABE = 90°, углы ABK и EBK дополняют друг друга до 90°: ∠ABK = 90° − α.

Диагонали прямоугольника равны и пересекаются пополам, значит BO = OK и EO = OA. Угол BEO равен углу EBK: их стороны соответственно перпендикулярны, поэтому ∠BEO = α.

В треугольнике BOE углы при вершинах B и E равны: каждый равен 90° − α. Тогда ∠BOE = 180° − 2(90° − α) = 2α.

Ответ: AE = 50; P₍AEK₎ = 112; ∠ABK = 90° − α; ∠BEO = α; ∠BOE = 2α.