№ 4. Брусок массой m движется равномерно вниз (относительно клина) по поверхности клина массой M. Клин движется по гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). Угол наклона клина α, а коэффициент трения бруска о клин μ. Найдите модуль горизонтальной силы F, действующей на клин. Сделайте рисунок с указанием всех сил, действующих на тела. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Решение. Рассмотрим движение в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Пусть клин ускоряется вправо с ускорением a. Поскольку брусок движется равномерно относительно клина, его относительное ускорение вдоль поверхности равно нулю. Поэтому горизонтальное ускорение бруска совпадает с ускорением клина: a_б=a; вертикальное ускорение бруска равно нулю.

На брусок действуют сила тяжести mg, нормальная реакция N и сила трения скольжения μN, направленная вверх вдоль наклонной поверхности — против относительного движения бруска вниз.

Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

По горизонтали: ma=N sin α−μN cos α.

По вертикали ускорения нет: N cos α+μN sin α−mg=0, откуда N=mg/(cos α+μ sin α).

Следовательно, a=g(sin α−μ cos α)/(cos α+μ sin α).

Для клина по горизонтали: Ma=F−N sin α+μN cos α. Из уравнения для бруска N(sin α−μ cos α)=ma, поэтому F=(M+m)a.

Подставляя найденное ускорение, получаем:

\[F=(M+m)g\frac{\sin\alpha-\mu\cos\alpha}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}.\]

Это выражение задаёт знаковую горизонтальную силу при выбранном положительном направлении вправо. Если сила направлена вправо, как на рисунке, то при модуле силы:

Ответ: \(F=(M+m)g\dfrac{\sin\alpha-\mu\cos\alpha}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}\) при \(\tan\alpha\geq\mu\). Если \(\tan\alpha<\mu\), для поддержания описанного движения сила должна быть направлена влево, а её модуль равен абсолютному значению этого выражения.

Силы на телах:

На клин также действуют сила тяжести Mg, реакция горизонтальной опоры R и сила со стороны бруска: нормальная составляющая направлена влево-вниз, а сила трения — вправо-вниз. На схеме реакции контакта показаны общей стрелкой с подписью; в уравнении их горизонтальная составляющая равна −N sin α+μN cos α.

Использованы второй закон Ньютона для каждого тела и закон сухого трения скольжения. Второй закон применим, поскольку движение рассматривается в инерциальной системе отсчёта; гладкость горизонтальной опоры означает отсутствие горизонтальной силы трения со стороны пола. Условие равномерного движения бруска относительно клина задаёт нулевое относительное ускорение вдоль наклонной поверхности.