4\(\cdot\) 16\(\sin\)^2{x} - 6\(\cdot\) 4^{\(\cos{2x}\)} = 29.

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней и тригонометрические тождества:

\( 4 \cdot (4^2)^{\sin^2{x}} - 6 \cdot 4^{\cos{2x}} = 29 \)

\( 4 \cdot 4^{2\sin^2{x}} - 6 \cdot 4^{\cos{2x}} = 29 \)

Используем тождество \( \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} \), откуда \( 2\sin^2{x} = 1 - \cos{2x} \).

Подставим это в уравнение:

\( 4 \cdot 4^{1 - \cos{2x}} - 6 \cdot 4^{\cos{2x}} = 29 \)

\( 4 \cdot \frac{4^1}{4^{\cos{2x}}} - 6 \cdot 4^{\cos{2x}} = 29 \)

\( \frac{16}{4^{\cos{2x}}} - 6 \cdot 4^{\cos{2x}} = 29 \)

Пусть \( y = 4^{\cos{2x}} \). Тогда уравнение примет вид:

\( \frac{16}{y} - 6y = 29 \)

Умножим обе части на \( y \) (при \( y \neq 0 \), что верно, так как \( 4^{\cos{2x}} > 0 \)):

\( 16 - 6y^2 = 29y \)

\( 6y^2 + 29y - 16 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = 29^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-16) = 841 + 384 = 1225 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35 \]

Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-29 + 35}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-29 - 35}{2 \cdot 6} = \frac{-64}{12} = -\frac{16}{3} \]

Так как \( y = 4^{\cos{2x}} \), то \( y > 0 \). Следовательно, \( y_2 = -\frac{16}{3} \) не подходит.

Рассмотрим \( y_1 = \frac{1}{2} \):

\[ 4^{\cos{2x}} = \frac{1}{2} \]

\[ (2^2)^{\cos{2x}} = 2^{-1} \]

\[ 2^{2\cos{2x}} = 2^{-1} \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ 2\cos{2x} = -1 \]

\[ \cos{2x} = -\frac{1}{2} \]

Решения для \( 2x \) следующие:

\[ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \, \text{где} \, k \in \mathbb{Z} \]

Разделим на 2, чтобы найти \( x \):

\[ x = \frac{\pi}{3} + \pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi k \, \text{где} \, k \in \mathbb{Z} \]

Эти два ряда решений можно объединить в виде:

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \, \text{где} \, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z} \).