4. Через концы диаметра АВ окружности проведены параллельные хорды ВС и AD (рис. 253). Доказать, что AD = BC.

Решение:

Рассмотрим окружность с центром O и диаметром AB. Проведены параллельные хорды BC и AD.

1. Свойства параллельных хорд:

• Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между ними, равны. В нашем случае, хорды BC и AD параллельны. Следовательно, дуга AC равна дуге BD.

2. Равенство дуг и хорд:

• Равные дуги стягиваются равными хордами. Так как дуга AC = дуга BD, то хорда AC = хорда BD.

3. Доказательство равенства AD и BC:

• Рассмотрим треугольники △ABC и △BAD.
• AB — общая сторона (диаметр).
• ∠ACB = ∠BDA = 90° (так как опираются на диаметр).
• Дуга AC = дуга BD (доказано выше).
• Следовательно, хорда AC = хорда BD.
• По двум сторонам и углу между ними (или по двум сторонам и дуге, стягиваемой третьей стороной), треугольники △ABC и △BAD равны.
• Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, а значит, AD = BC.

Альтернативный способ доказательства:

Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Так как BC || AD, то ABCD — трапеция.

Угол ∠ACB и ∠ADB опираются на диаметр AB, значит, они прямые: ∠ACB = ∠ADB = 90°.

Если в трапеции углы при одном из оснований прямые, то трапеция является прямоугольной.

В прямоугольной трапеции боковые стороны, не являющиеся основаниями, равны. Следовательно, AD = BC.

Доказано.