4. Четырехугольник АВСД вписан в окружность диаметра АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга ВС=100°, дуга СД=60°.

Решение:

1. Если четырехугольник АВСД вписан в окружность, и диагональ АС является диаметром, то углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) являются прямыми, так как они опираются на диаметр. Следовательно, \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle ADC = 90^{\circ} \).

2. Дуга ВС = 100°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине дуги:

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ} \).

3. Дуга СД = 60°. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу:

\( \angle CAD = \frac{1}{2} \text{дуга } CD = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

4. Угол \( \angle BCD \) является вписанным и опирается на дугу BAD. Дуга BAD = 360° - дуга BC - дуга CD = 360° - 100° - 60° = 200°.

\( \angle BCD = \frac{1}{2} \text{дуга } BAD = \frac{1}{2} \cdot 200^{\circ} = 100^{\circ} \).

5. Угол \( \angle DAB \) является вписанным и опирается на дугу BCD. Дуга BCD = дуга BC + дуга CD = 100° + 60° = 160°.

\( \angle DAB = \frac{1}{2} \text{дуга } BCD = \frac{1}{2} \cdot 160^{\circ} = 80^{\circ} \).

Проверка: сумма углов четырехугольника 80° + 100° + 90° + 90° = 360°.

Ответ: \( \angle ABC = 90^{\circ} \), \( \angle ADC = 90^{\circ} \), \( \angle BCD = 100^{\circ} \), \( \angle DAB = 80^{\circ} \).