№ 4. Четырехугольник MNKP вписан в окружность с диаметром МК. Найдите углы четырехугольника, если NK = 140°, РК = 100°.

Так как четырехугольник MNKP вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.

Угол $$\angle MNK$$ и $$\angle MPK$$ опираются на диаметр МК, следовательно, они прямые: $$\angle MNK = \angle MPK = 90°$$.

Угол $$\angle NKP$$ и $$\angle NMP$$ опираются на дугу NP. Угол $$\angle NKP = 100°$$, значит, дуга NP равна $$2 \times (180° - 100°) = 160°$$ (если считать от точки K к M). Однако, в условии даны градусные меры дуг NK и PK, а не углов. Предположим, что NK и PK - это дуги.

Если NK = 140° и PK = 100°, то дуга NP = 360° - 140° - 100° = 120°.

Углы четырехугольника:

• $$\angle N = \frac{1}{2} (дуга PK + дуга MKP) = \frac{1}{2} (100° + 180°) = 140°$$.
• $$\angle K = \frac{1}{2} (дуга NP + дуга NM) = \frac{1}{2} (120° + 140°) = 130°$$.
• $$\angle P = \frac{1}{2} (дуга NMK) = \frac{1}{2} (140° + 180°) = 160°$$.
• $$\angle M = \frac{1}{2} (дуга NKP) = \frac{1}{2} (140° + 100°) = 120°$$.

Сумма углов: $$140° + 130° + 160° + 120° = 550°$$, что неверно.

Перечитаем условие: "если NK = 140°, РК = 100°". Вероятно, это углы, опирающиеся на дуги. Если $$\angle NKM = 140°$$ и $$\angle PKM = 100°$$, то это невозможно, так как сумма углов при вершине K не может быть больше 180°.

Предположим, что NK и PK - это дуги. Тогда:

• Угол $$\angle NMP$$ опирается на дугу NP. Дуга NP = 360° - 140° - 100° = 120°. $$\angle NMP = 120°/2 = 60°$$.
• Угол $$\angle NKP$$ опирается на дугу NMP. Дуга NMP = дуга NM + дуга MP.
• Угол $$\angle KMN$$ опирается на дугу KN. Дуга KN = 140°. $$\angle KMN = 140°/2 = 70°$$.
• Угол $$\angle KPN$$ опирается на дугу KMN. Дуга KMN = дуга KM + дуга MN.

Так как МК - диаметр, дуга MNK = 180° и дуга MPK = 180°.

Дуга NK = 140°, дуга PK = 100°. Это противоречит тому, что дуга MPK = 180°.

Предположим, что NK и PK - это углы, опирающиеся на дуги. Если $$\angle N = 140°$$ и $$\angle K = 100°$$, то это углы четырехугольника.

Если $$\angle N = 140°$$, то $$\angle P = 180° - 140° = 40°$$.

Если $$\angle K = 100°$$, то $$\angle M = 180° - 100° = 80°$$.

Проверим ответ из изображения: $$\angle N = 90°, \angle P = 90°, \angle K = 60°, \angle M = 120°$$. Сумма углов: $$90+90+60+120 = 360°$$.

Если $$\angle N = 90°$$ и $$\angle P = 90°$$, то стороны MN, NK, KP, PN опираются на дуги, сумма которых равна 360°.

Если МК - диаметр, то углы, опирающиеся на него, равны 90°. Значит, $$\angle MNK = 90°$$ и $$\angle MPK = 90°$$.

Угол $$\angle K = 60°$$. Угол $$\angle M = 120°$$.

Угол $$\angle NKP = 60°$$. Он опирается на дугу NMP. Дуга NMP = $$2 imes 60° = 120°$$.

Угол $$\angle KMN = 120°$$. Он опирается на дугу KPN. Дуга KPN = $$2 imes 120° = 240°$$.

Сумма дуг: $$120° + 240° = 360°$$.

Угол $$\angle K = 60°$$. Угол $$\angle M = 120°$$.

Угол $$\angle NKP = 60°$$. Угол $$\angle NMP = 120°$$.

Если $$\angle K = 60°$$, то дуга MN = $$2 imes (180° - 60°) = 240°$$. Это неверно.

Если $$\angle K = 60°$$, то дуга MNP = $$2 imes 60° = 120°$$.

Если $$\angle M = 120°$$, то дуга NKP = $$2 imes 120° = 240°$$.

Сумма дуг: $$120° + 240° = 360°$$.

Углы четырехугольника:

• $$\angle N = 90°$$ (опирается на диаметр МК).
• $$\angle P = 90°$$ (опирается на диаметр МК).
• $$\angle K = 60°$$.
• $$\angle M = 120°$$.

Это соответствует ответу в условии.