Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
4. Четырехугольник МПКР вписан в окружность диаметра МК. Найдите углы четырехугольника, если дуга NK=140°, дуга PK=100°.
Ответ:
Краткая запись:
- Четырехугольник МПКР вписан в окружность.
- Диаметр окружности — МК.
- Дуга NK = 140°.
- Дуга PK = 100°.
- Найти: Углы четырехугольника — ∠MNP, ∠NPK, ∠PKM, ∠KMN.
Краткое пояснение: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Находим ∠MNK. Этот вписанный угол опирается на дугу NK. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
- Шаг 2: Так как диаметр МК проходит через центр окружности, то дуга МNK = 180° и дуга MPK = 180°.
- Шаг 3: Находим дугу NP. Дуга NP = Дуга МNK - Дуга MN - Дуга PK = 180° - Дуга MN - 100°.
- Шаг 4: Находим дугу MN. Дуга MN = 360° - Дуга NK - Дуга PK - Дуга NP = 360° - 140° - 100° - Дуга NP.
- Шаг 5: Угол ∠MNK опирается на дугу NK. ∠MNK = 140° / 2 = 70°.
- Шаг 6: Угол ∠MPK опирается на дугу NK. ∠MPK = 140° / 2 = 70°.
- Шаг 7: Угол ∠NMK опирается на дугу NK. ∠NMK = 140° / 2 = 70°.
- Шаг 8: Угол ∠NKP опирается на дугу NP.
- Шаг 9: Угол ∠MNP опирается на дугу MPK. Дуга MPK = 180°. ∠MNP = 180° / 2 = 90°.
- Шаг 10: Угол ∠MKP опирается на дугу MNK. Дуга MNK = 180°. ∠MKP = 180° / 2 = 90°.
- Шаг 11: Угол ∠MPN опирается на дугу MN.
- Шаг 12: Угол ∠KMN опирается на дугу NKP. Дуга NKP = Дуга NK + Дуга PK = 140° + 100° = 240°. ∠KMN = 240° / 2 = 120°.
- Шаг 13: Угол ∠NPK опирается на дугу NMK. Дуга NMK = 360° - Дуга NK - Дуга PK = 360° - 140° - 100° = 120°. ∠NPK = 120° / 2 = 60°.
- Шаг 14: Проверяем сумму противоположных углов: ∠MNP + ∠PKM = 90° + 90° = 180°. ∠NPK + ∠KMN = 60° + 120° = 180°.
Ответ: Углы четырехугольника: ∠MNP = 90°, ∠PKM = 90°, ∠NPK = 60°, ∠KMN = 120°.
